A LEVEL MATHEMATICS ANSWERS AND MARKSCHEMES
ALGEBRA 1
1. 2x2 + 14x +20£ (x -3)(x +2)
2x2 + 14x + 20£ x2 - x - 6 M1
0 ³ x2 + 15x + 26 M1 A1
0 ³ (x+13)(x+2)
critical values -13, -2 M1 A1
-13£ x £-2 B1 ft B1 ft (-1 if “<” used)
[7]
2. a) y = 0 Þ x2 - 4ax + 3a2 = 0
(x - 3a)(x-a) =0 M1
x = a, 3a A1
x = 0 Þ y = 3a2 B1
G1 (shape)
G1 (all intersection points)
[5]
b) a < x < 3a B1 ft
[1]
3.
a) 2x + 2(x - 5) £ 38 (Perimeter) B1
x(x-5) ³ 50 (Area) B1
[2]
b) P: x£12 M1 A1
A: x2 - 5x - 50³0 M1
(x -10)(x +5)³0 M1
critical value x = 10 A1 (give if both values)
x ³10 B1
Combining:
The longer side must be at least 10m but not more than 12m B1
The shorter side must be at least 5m but not more than 7m B1
[8]
4. a) |x-2|:
G1 (shape)
G1 (both intercepts)
2x - 6
G1 line, positive gradient
G1 both intercepts
[4]
b) |x-2| = 2x - 6
Þ x - 2 = 2x - 6 M1
x = 4 A1
(or other giving one solution)
x>4 M1 A1
[4]
5. a) 2x2 + 8x + 2 º 2(x2 + 4x) + 2 M1
º 2[(x+2)2 - 4] +2
º 2(x+2)2 -6 A3 (1 for each value)
OR 2x2 + 8x + 2 º Ax2 + 2ABx + AB2 + C M1
Equating coeffs:
x2: 2 = A A1
x: 8 = 2AB Þ B = 2 A1
const: 2 = B2 + C Þ C = -2 A1
[4]
b) 2(x+2)2 - 6 least when bracket = 0 M1
Least value -6 A1 (this method only)
[2]
c) 2(x+2)2 = 6 M1
(x+2)2 = 3 x + 2 = ±Ö3 A1
x = -2 ±Ö3 A1 (both)
[3]
6. y = x + M1
x2 + 2x + (x + )2 = 7
1x2 + 3x + =7
13x2 + 14x - 27 = 0 M1 A1
(13x + 27)(x-1) = 0 M1
x =1, A1
x = 1 Þ y = 2 M1 A1 ft (both)
x = Þ y = -2 A1 (correct pairing)
[8]
7. y= 2x +3 M1
2x2 + 2x(2x+3) + (2x+3)2 = 0 M1
10x2 + 18x + 9 = 0 A1
M1 A1
No solution since 324 - 360 < 0 B1 ft
[6]
8. a) i) 2x - 1 = 8 or –2x + 1 = 8 M1
x = 4, -3 A1 A1
[3]
ii) x - a = ±b M1
x = a + b, a - b A1 A1
[3]
b) G1 shape
G1 intercepts with axes
G2 coordinates of endpoints
[4]
9. a) x(x2 - 8x + 12)=0 M1
x(x-6)(x-2)=0 M1
x=0, 2, 6 B1 (1 correct) A1 (all)
[4]
b) (2,0) (6,0) B1 B1 ft
[2]
c) x£0 B1 ft
2£x£6 B1 ft
( -1 if < used instead of £)
[2]
10. C = 12 B1
Ax2 + Bx + 12 = 0 at x = -2 and x =3
9A + 3B + 12 = 0 M1 A1
4A – 2B + 12 = 0
Solving simultaneously:
A = -2, B = 2 M1 A1
[5]
11. 53(3x-1) = 52(2-x) M1 A1
9x - 3 = 4 - 2x M1
11x = 7
x = A1
[4]
12. 32x - 4 ´ 3-4-10x = 32 ´ 324-18x M1 A1 A1
-8x – 8 = 26 – 18 x M1
10x = 34 Þ x = M1 A1
[6]
13. a) i) 8x = (23)x M1
= 23x
= (2x)3 A1
= y3
[2]
ii)4x+1 = 4x ´ 4 M1
= 22x ´ 4
= (2x)2 ´ 4 A1
= 4y2
[2]
b) 2y3 - 5(4y2) + 25 (2x) = 0 M1
2y3 - 20y2 + 32y = 0 A1
[2]
c) i) 2y(y2 - 10y + 16) = 0 M1
2y(y-8)(y-2) = 0 A1
y=0, 2, 8 M1 A1
[4]
ii) x = 1, 3 M1 A1 (these answers only)
[6]
14. p + q = B1
p – q = 3 B1
p2 – q2 = (p – q)(p + q) M1
= 3 M1 A1
= 3r A1
[6]
15. a) 2xln2 = ln3 M1 A1
x =
= 0.792 A1
[3]
b) xln2 = (2-x)ln3 M1 A1 (brackets correct)
xln2 + xln3 = 2ln3 M1
x = = 1.23 A1 c.a.o.
[4]
16. ex + 6e-x = 5
(ex)2 + 6 = 5ex M1
(ex)2 - 5ex + 6 = 0
(ex - 3)(ex - 2) = 0 M1 A1
ex = 3, ex =2
x = ln3, ln2 A1 A1 ft
[5]
17. a)
M1 A1
y = 2e3ln3 + 1
M1
y = 2 (27) + 1 = 55 M1 A1
[5]
b) 17 = 2e3x-2 + 1
16 = 2e3x-2 M1
8 = e3x - 2 M1
ln8 = 3x-2 M1
x =ln8 + A1
x = ln2 + A1
[5]
18. xln2 = (4 – 3x)ln6 M1 A1
xln2 = 4ln6 – 3xln6
x(ln2 + 3ln6) = 4ln6 M1
x(ln2 + ln63) = ln64 M1
xln432 = ln1296 M1 A1
x = A1
[7]
19. a) At asymptote, Ax - B = 0 M1
Þ 2A - B = 0 A1
2A = B
At intercept with x-axis:
Ax - B = 1
2.5A - B = 1 M1
5A - 2B = 2 A1
[4]
b) 5A - 4A = 2 M1
A = 2 A1
B = 4 A1
[3]
c) 3 = ln(2x - 4)
e3 = 2x - 4 M1
x = e3 + 2 A1
[2]
20. a) i) 2y B1
ii) -y B1
[2]
b) y + 2y - 4y = -2 M1
Þ -y=-2
Þ y = 2 A1
[2]
c) log2x = 2 Þ x = 4 B1
[1]
21. xy2 = 103 = 1000 B1
log10xy -log102 = log10 M1
= 102 A1
xy = 200 B1
Þ y = 1000¸200 = 5 B1
Þ x = 40 B1 ft
[6]
22. a) M1 A1
= A1
[3]
b) M1
= M1
= 13 + 2 A1
[3]
23. a) (2 + )(2 +) = 4 + 3 + 4 M1
= 7 + 4 A1
[2]
b) x2 = 28 + 16
= 4(7 + 4) M1
x = ±2 M1
= ±2
x = 4 + 2 or x = -4-2 A1 A1
[4]
24. M1 (factorising)
= M1
= M1
= A1
[4]
25.a) f(2) = 23 – 7(22) + 4(2) + 12 M1
8 – 28 + 8 + 12 = 0 A1
[2]
b) x3 – 7x2 + 4x + 12 º (x-2)(x2 + Ax – 6) M1 A1
Coeff x2 : -7 = -2 + A M1
-5 = A A1
f(x) º (x – 2)(x2 – 5x –6)
º (x – 2)(x – 6)(x + 1) A1 A1
OR:
M1
x3 – 2x2 A1
-5x2 + 4x A1
-5x2 + 10x A1
-6x + 12
f(x) º (x – 2)(x2 – 5x – 6) M1
º (x – 2)(x – 6)(x + 1) A1
OR:
Attempt f(±6) M1
f(6) = 0 A1
(x – 6) factor A1
f(1) = 0 Þ (x + 1) factor M1 A1
f(x) º (x + 1)(x – 2)(x – 6) A1
[6]
c) G1 shape
G2 intersection pts(-1eeoo)
[3]
26. a) 2 + + M1
= 1 A1
[2]
b) (2x – 1)(x2 + Ax + 1) º 2x3 + x2 + x –1 M1 A1
Coeff x2: -1 + 2A = 1 M1
A = 1 A1
(2x – 1)(x2 + x + 1) (or equiv by long division)
x2 + x + 1 has no roots since b2 – 4ac is less than 0 B1 reason
(b2 – 4ac = 1 – 4= -3) B1 correct value
[6]
27.a) (-1)3 –A(-1)2 + 15(-1) + 25 = 0 M1
-1 –A – 15 + 25 = 0
A = 9 A1
[2]
b) h(x) º (x + 1)(x2 + Bx + 25) M1 A1
º x3 – 9x2 + 15x + 25
Coeff x2: 1 + B = -9 M1
B = -10 A1
h(x) º (x + 1)(x2 – 10x + 25)
º (x + 1)(x – 5)2 B1 B1
[6]
c) e3x – 10e2x + 15ex + 25 = 0
(ex + 1)(ex – 5)2 = 0 M1
ex = -1, 5 B1
ex = -1 no solution Þ ex = 5 B1
x = ln5 A1
[4]
28. a) x4 – 4x2 + 3 = 0
(x2 – 3)(x2 – 1) = 0 M1 A1
x = ±, ±1 A1 A1
[4]
b) = 4x3 – 8x B1
4x3 – 8x = 0
4x(x2 – 2) = 0 M1
x = 0, ±Ö2 B1 A1
Þ y = 3, -1, -1 M1 A1
G1 (shape)
G1 (intersections, t.pts)
[8]
c) 2 intersections with graph M1
Þ K > 3 A1
[2]
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